Påtvingat svängning II

2:a ordningens differentialekvationer

ma5secondorddifeqforcedv2
ma5secondorddifeqforcedv2

En kropp med massan m=1kg svänger kring sitt jämviktsläge. Den påverkas av tre krafter. En återförande kraft från fjädern: -k·x, där k är fjäderkonstanten och x avståndet från jämviktsläget; en dämpad (friktions) kraft som är proportionell mot hastigheten: -b·x’ (nedre delen av uppställningen); och en yttre påtvingad kraft genom att fjäderns hängpunkt svänger enligt h(t)=cos(ωt). Detta resulterar till en påtvingad kraft: k·h(t)= k·cos(ωt). 

Newtons andra lag (F=ma=mx’’) ger differentialekvationen:
m·x’’+b·x’+k·x=k·cos(ωt)

Simuleringen undersöker den partikulära lösningen
P(t)=c·cos(ωt)+d·sin(ωt)= A·cos(ωt+φ)
(Efter lång tid dör den homogena lösningen ut eftersom den har en dämpningsfaktor:
e-rt, och kvar blir bara den partkulära lösningen). 

I fönstren längst upp till höger visas A och φ som funktion av ω. Det intressanta är att vid ett visst värde på ωA=√(k/m-b2/2m2) så ökar amplituden A kraftigt. Vi har fått en resonans. Ju mindre dämpningsfaktorn b är desto mera påtagligt blir resonansfenomenet.

Du kan välja olika värden på variablerna b, k och ω. När du trycker på "»", så visas en animering av rörelsen.  

 

Flera simuleringar från samma sida

Matematik/ Matematik 5/ Differentialekvationer

Riktningsfält och lösningskurvor 2

Riktningsfält och lösningskurvor 2

Undersöka 1:a ordningens differentialekvationer med hjälp av riktningsfält...

Riktningsfält och lösningskurvor 3

Riktningsfält och lösningskurvor 3

Eulers metod demonstreras för ett antal givna 1: a ordningens differentialekvationer av formendy/dt=f(t,y) Du...

Träna på differentialekvationer

Träna på differentialekvationer

Nya HTML5 simuleringar, som funkar med alla webbläsare, Startsidan finns HÄR  (Välj: Open DME for...

Dämpad svängning

Dämpad svängning

En kropp med massan m svänger kring sitt jämviktsläge. Den påverkas dels av en återförande kraft...

Påtvingat svängning I

Påtvingat svängning I

En kropp med massan m svänger kring sitt jämviktsläge. Den påverkas av tre krafter. En återförande...

Påtvingat svängning II

Påtvingat svängning II

En kropp med massan m=1kg svänger kring sitt jämviktsläge. Den påverkas av tre krafter. En återförande...

×
×